Другой аргумент, взятый Бернулли из математического анализа, приводил к тому же выводу. Переписка между Лейбницем и Иоганном Бернулли о логарифмах отрицательных чисел была весьма обширной, но — увы! — большинство утверждений, на которых настаивали обе стороны, были неверными.

К правильному решению проблемы пришел Эйлер. Свой результат он изложил в работе «Исследования о мнимых корнях уравнений» (1751). Окончательный ответ, правильный по существу, но полученный с помощью неправильных рассуждений, применим ко всем комплексным числам, в том числе и к вещественным числам (если y = 0,то комплексное число x + iyобращается в вещественное число x); он имеет следующий вид:

где  n— произвольное целое число. Однако современники Эйлера не поняли и не оценили эту его замечательную работу.

О своих результатах Эйлер сообщил в письме Д'Аламберу от 15 апреля 1747 г., где обратил внимание на то, что даже у любого положительного вещественного числа существует бесконечно много логарифмов. Лишь один из них является вещественным числом, и именно его мы обычно используем в своих вычислениях с вещественными числами. Ни обширная переписка, ни работа Эйлера не убедили Д'Аламбера, и в своей заметке «О логарифмах отрицательных величин» он выдвинул всевозможные метафизические, аналитические и геометрические аргументы против существования таких логарифмов. Д'Аламбер преуспел в своем намерении: ему удалось основательно запутать и без того сложную проблему. Свои расхождения с Эйлером Д'Аламбер пытался скрыть, утверждая, будто речь идет лишь о различиях в формулировках, а не о принципиальных разногласиях по существу вопроса.

Все участники острой полемики, развернувшейся вокруг проблемы расширения понятия числа, мыслили непоследовательно. В первой половине XVIII в. было принято считать, что некоторые операции над комплексными числами, например операция возведения комплексного числа в комплексную степень, могут привести к числам совершенно новой природы. Подобным представлениям положил конец Д'Аламбер, доказавший в своей работе «Размышления об общей причине ветров» (1747), что все операции, производимые над комплексными числами, порождают только комплексные числа. Доказательство Д'Аламбера было усовершенствовано Эйлером и Лагранжем, но решающий шаг здесь сделал именно Д'Аламбер. По-видимому, Д'Аламбер сознавал непоследовательность и даже противоречивость собственных представлений о комплексных числах. Во всяком случае, в «Энциклопедии», для которой он написал много математических статей, о комплексных числах ни разу не упоминается. {73}

Не было полной ясности в вопросах, связанных с комплексными числами, и у Эйлера. В своей «Алгебре» (1770), лучшем учебном курсе XVIII в. по этой дисциплине, Эйлер утверждал:

Производя операции над комплексными числами, Эйлер порой и ошибался. Так, в его «Алгебре» фигурирует равенство √ −1 ∙√ −4 = √4 = 2, выписанное по аналогии с тождеством √a∙√b=√ab,справедливым для положительных  aи b,т.е. для вещественных корней.

Называя комплексные числа невозможными, Эйлер в то же время отмечал их полезность. В частности, он считал комплексные числа полезными по той причине, что они якобы позволяют отличать задачи, имеющие решения, от задач, не имеющих решения. Так, если бы нам понадобилось разложить число 12 на две части, произведение которых должно было бы равняться 40 (намек на задачу Кардано), то мы обнаружили бы, что эти части равны соответственно 6 + √−4 и 6 − √−4, т.е., согласно Эйлеру, узнали бы, что задача неразрешима.

Несмотря на множество принципиальных возражений против комплексных чисел, на протяжении XVIII в. их широко использовали, свободно применяя к ним правила арифметических действий над вещественными числами. Так математики получали практические навыки в обращении с комплексными числами. В тех случаях, когда комплексные числа применялись лишь на промежуточных стадиях математических доказательств, полученные с их помощью окончательные результаты всегда оказывались верными, что не могло не произвести благоприятного впечатления. Тем не менее математиков не оставляли сомнения в правильности такого рода доказательств, а иногда даже и получаемых с их помощью результатов.

Общее отношение математиков к узакониванию научного статуса тех разновидностей чисел (иррациональных, отрицательных и комплексных), которые доставляли им столько хлопот, отчетливо выразил Д'Аламбер в своей статье об отрицательных числах, написанной для «Энциклопедии». В целом эта статья была написана недостаточно ясно и завершалась следующим признанием: «Алгебраические правила действий над отрицательными числами ныне общеприняты, и все признают их точными независимо от того, что бы мы ни думали о природе этих чисел».

За многие века, на протяжении которых европейские математики упорно пытались понять природу различных типов чисел, на передний план выступила еще одна фундаментальная логическая задача — задача обоснования алгебры. Первой работой, существенно упорядочившей новые результаты, было «Великое искусство» Дж. Кардано. В этой книге Кардано показал, как решать кубические уравнения (например, x ³+ 3x ²+ 6x = 10) и уравнения четвертой степени (типа х ⁴+ 3x ³+ 6x ²+ 7x + 5 = 0). Примерно за сто лет арсенал алгебры пополнился многими важными результатами, часть которых была известна еще арабским математикам: методом математической индукции, биномиальной теоремой и приближенными методами вычисления корней уравнений разных степеней. Основной вклад в сокровищницу алгебры внесли Виет, Гарриот, Жирар, Ферма, Декарт и Ньютон. Но все эти новые результаты фактически не были доказаны. Правда, Кардано, а позднее Бомбелли и Виет привели в обоснование своих методов решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени кое-какие геометрические соображения, но, поскольку эти математики игнорировали отрицательные и комплексные корни, приведенные ими соображения заведомо не могли рассматриваться как доказательства. Кроме того, появление уравнений высших степеней, например четвертой и пятой, означало, что геометрия, ограниченная в те времена трехмерным пространством, не могла служить основой доказательств. Результаты, полученные другими авторами, чаще всего оказывались всего лишь более или менее удачными догадками, подсказанными конкретными примерами.

Шаг в правильном направлении сделал Виет. Со времен Древнего Египта и Вавилона и вплоть до появления работы Виета математики решали уравнения первой степени, квадратные, кубические и уравнения четвертой степени, ограничиваясь всякий раз лишь какими-либо конкретными числовыми значениями коэффициентов. При подобном подходе уравнения 3x ²+ 5x + 6 = 0и 4x ²+ 7x + 8 = 0считались различными, хотя было ясно, что оба уравнения решаются одним и тем же методом. Кроме того, ученые стремились избежать отрицательных чисел; поэтому такое, например, уравнение, как x ²− 7x + 8 = 0, принято было записывать в виде x ²+ 8 = 7x.Возникало множество типов уравнений одной и той же степени, каждый из которых приходилось рассматривать в отдельности. Главный вклад Виета в развитие алгебры состоял в введении буквенных коэффициентов.